律学
    Studyoftemperament研究律制构成与应用的科学。
    律学的对象与任务律学须对音乐所用的音律进行研究。音乐所用的音绝大多数是有确定高度的，律制则是以某特定音程为基础，用数学方法规定的一系列乐音高度的体系。体系中的每个单位称为“律”；音阶是按照音程关系的一定规格从律制中选择若干律而构成的音列，其中的每个单位称为“音”。“音”与“律”合称“音律”时，除指律制外，兼指在高度上作精确规定的所有乐音。
    律学属于音响学音乐声学、数学与音乐学的交缘学科。音乐中所有音高方面的研究都涉及律学。例如：旋律音程的结构与音准;调式与和声理论中的和谐原理;多声部纵向结合时的各种音程关系；转调理论；乐器制造及调律中的音准与音位的确定；重唱重奏、合唱合奏中的音准调节；……等等。由于音律是与音乐本身的存在紧密联系的，所以尽管律学的研究必须通过物理学与数学的方法，但同时也还必然涉及世界各民族音乐中实际运用的音阶、调式，律学在实际中的应用与发展等方面，它最终是为音乐表演的完善、音乐创作的发展、音乐文化的全面提高服务的。
    长度比、频率比、周期比与音程值不同的律制由不同的生律法决定的，而生律法则与所选择的音程及其计算方法相关。古代人通过发音体(管、弦)的长度比例关系来理解并计算音程。这比例可用整数比的形式来表示,例如,相距纯五度的两音发音体的长度，较低者的长度:较高者的长度＝3∶2;也可用假分数写出其比值，例如把3∶2写成3/2。相距纯四度的,其长度比是4:3＝4/3。相距纯正协和的大三度的,其长度比是5∶4＝5/4。这些数，在古代（中国、印度、希腊等古国）都作为长度比用以计算音程。到近代，人们开始从单位时间内的振动数(频率)的角度出发,以更精密的方法来研究音高,因而，音程关系也通过频率比来理解与计算。例如，相距纯五度的两个音,较高者的频率：较低者的频率＝3∶2＝3/2。由于频率与长度成反比，建立比例式时只要高低音在前后项的位置颠倒过来，所得的比例数就完全相同，所以古代所用的比例数在近代仍然是有效的，只是对于数字所代表的两音的高低作了相反的解释罢了。经过重新解释以后，同样这些数字就成为频率比了。进入现代，又转向微观的思考，从频率转到周期。例如振动频率为每秒钟440次，则振动周期为每次1/440秒，这也就是时间中的波长。从周期的长度来看比例关系，就重新回到低者较长而高者较短的对应关系，与古代所用的长度比完全吻合了。这样，上述那些比数就又可以作为周期比来用了。
    无论用长度比、频率比还是周期比，都有其不便之处：在比较两个近似音程的大小时，必须通过乘法或除法，不经过一番计算就不能了解何者较大，大多少，而两音程相加减，则又必须作乘除运算。一个音程扩大到多少倍、划分成多少等分，则要作乘方、开方运算。随着数学的发展，19世纪开始将对数概念引进音程的计量，建立了“音程值”概念。计算音程值的方法，是把某音程的频率比值换算成对数，并依一定意图制定某种单位名称。有了音程值以后，音程的大小就可一目了然，音程加减可用音程值加减来算，音程扩大到多少倍或划分成多少等分也可用简单的乘除法来算。各国现多以“音分”为音程值的单位，此为英国数学家兼比较音乐学家、语言学家A.J.埃利斯(1814～1890)所创用。八度的音程值为1200音分,每个平均律半音为100音分。任何律制中的任何音程的音分数都可根据频率比通过常用对数算得：先求出比例常数，再把各音程频率比的常用对数乘以比例常数,即得。比例常数是:八度的音分数÷八度频率比值2的常用对数＝1200÷0.30103＝3986.313。如欲求纯五度的音分数,就把纯五度频率比值(3∶2＝1.5)的对数(0.17609)乘以比例常数：0.17609×3986.313=701.950，常将小数四舍五入，作702音分。除音分外,音程值的其他单位制尚有“萨瓦尔”，为法国人F.萨瓦尔（1791～1841）所创用。只要把某音程频率比值的常用对数乘以1000，即得萨瓦尔数，因此1萨瓦尔≈4音分。“密优”（μ）即“千分八度”，德国音乐学家H.里曼、音乐教育家兼语言学家C.艾爱兹(1848～1924)都使用这种音程值。把八度计量为1000个“密优”，因此1密优＝1.2音分。“全音”即“六数八度”，为日本音乐学家田边尚雄所创用。把八度计量为6个全音，1全音＝200音分。生律法的自然依据古代任何民族的生律法所用的长度比例，都是一些简单整数比，这是有它的自然依据的。在每一个乐音内部都存在着一个基音与一系列泛音的音程结构，这一原理虽然迟至17世纪才由法国音乐理论家M.梅尔塞讷(1588～1648)所发现，但这一事实的存在自古已然，对于原始人类的和谐感已经发生作用。只有当两音的音程关系符合泛音列中占优势的音程关系时，才使人感到和谐，古代选作生律法依据的就是这样一些协和音程。泛音列又称谐音列、分音列、倍音列，其音程结构与频率比例、周期比例（振动体长度比例亦然）
    见表1。
    讲述泛音列构造时，为使音的号数与各自的比例当数恰能吻合，就不说泛音号数，而说谐音号数。以基音为1号谐音,第一泛音为2号谐音,第二泛音为3号谐音,所有自然产生的生律法所依据的音程都可以在谐音列中找到：1与2号谐音之间的八度距离，是任何生律法中都要用到的，纯五度是2、3号谐音的距离，纯四度是3、4号谐音的距离,纯正协和的大三度是4、5号谐音的距离,阿拉伯音乐惯用的中三度则符合9、11号谐音的距离,等等。只是到了律制发展得较复杂以后，人们为了寻找循环旋宫与自由转调的可能性,才仅用八度这一种自然音程,而其他所有音程都偏离自然规范,运用开方的方法得到,以建立平均律。故人们称平均律制为“人工律”，而以往各种依据自然音程的律制则统称“自然律”。
    一、五度相生律五度相生律在八度关系倍半相生的前提下，以纯五度、纯四度两种音程为生律法的依据而建立的律制，称为五度相生律。中国古代的三分损益律，古希腊按照毕达哥拉定律法所建立的律制，中世纪阿拉伯人继承古希腊文明而在“量音学”中采用四度相生法以建立的律制,都是如此。假如从C出发,向上五下四度方向生律5次，向上四下五度方向(这不符合三分损益法,是七弦琴上所用的“反生法”,被隋代郑译贬斥为“乖相生之道”)生律1次，就得到如下七声音阶(下徵调新音阶)，见表2。
    假如按中国古代传统，从黄钟出发，用“三分损益法”向上五下四度方向辗转生律11次，就得到如下“三分损益律半音音阶”，见表3。
    在五度相生十二律音阶上，半音有两种：一种是小半音，长度比是256∶243，音程值为90音分，现代记谱作小二度，古希腊称为“林玛”；另一种是大半音，长度比是2187∶2048,音程值为114音分，现代记谱作增一度，古希腊称为“阿波托美”。相应地，全音也有两种：一种是大全音（在五声音阶里就有的，普通的），长度比是9∶8，音程值为204音分;另一种是小全音（两个小半音相加所得，无射正律与黄钟半律的距离），长度比是65536∶59049（即□∶□），音程值为180音分。
    三分损益辗转相生第12次所得的第13律，长度略短(音略高)于首律黄钟，两者的长度比是531441∶524288(即□∶□)，音程值为24音分。这就是中国古代乐律学中有名的“仲吕上生不及黄钟”的问题。古希腊的律学研究者也发现了这个音差，称之为“毕氏音差”。由于这个音差被发现的时代很古，今人称之为“古代音差”，又称“最大音差”。京房与钱乐之从这偏差走向60律和360律,何承天与朱载□则为弥合这缝隙而走向平均律。
    二、纯律与中庸全音调律法除了用纯八、五、四度生律，再增添纯正协和的大三度这一新的音程作为生律法的依据，而形成的律制，称为纯律。纯律不同于五度相生律的主要特点是，由于纯律（纯正协和的）大三度略小于五度相生律的大三度，故在其最普通的自然七声音阶中即已存在小全音与大半音。这小全音是纯律大三度与大全音之差，5/4÷9/8=10/9，其长度比是10∶9，音程值为182音分。这大半音是纯四度与纯律大三度之差，4/3÷5/4=16/15，其长度比是16∶15,音程值为112音分。
    以纯律律制构成的自然大调音阶见表4。
    追溯到古希腊，阿希塔斯（活动于公元前400～前365）已发现长度比为5:4的纯律大三度。埃拉托斯赛奈斯（约公元前284～前202）已发现长度比为6∶5的纯律小三度。迪季姆（公元前63～公元10）已发现小全音及其与大全音之差，故此音差亦称“迪氏音差”。这是在纯律音阶上经常遇到的音差，也是纯律与五度相生律两种律制的相似音程之间的差，长度比是81∶80，音程值为22音分，今人称之为普通音差或协同音音差。虽然在古希腊已有上述音乐家发现纯律音程，但作为律制当时仍以五度相生律为主。
    中国古老的传统乐器七弦琴的演奏及其有关记述中包含有纯律的实践与理论。七弦琴的某几个徽位上的按音与泛音造成纯律音程，在琴的徽位确定及调弦法理论中有所反映(见琴律)，但由于琴律的记述年代甚晚，对中国传统乐律学理论影响较小，未能形成系统的纯律数学理论。
    印度古代的“22什鲁蒂”理论是纯律音阶的最古老又独具特色的系统性理论，由文艺理论家婆罗多于约公元前2世纪间在《乐舞论》中进行了阐述。这一理论并非要求将八度划分成22个相等的区间以采用22律，而是要求用“什鲁蒂”（意为“听到”，即听觉能分辨的差异）的数目来区别相近似的音程，其中最受注意的就是大全音与小全音的区别。按此理论,用“4个什鲁蒂”以称呼大全音，“3个什鲁蒂”以称呼小全音,因而普通音差体现为“1个什鲁蒂”。印度传统音阶的构成见表5。
    今人若无纯律的知识，就不能懂得印度音阶与大小调之间细微而又涉及风格表情本质的区别，即便在主音未定的情况下，这些音阶本身的音程结构都是不尽相同的。
    三、五度相生律欧洲音乐自从进入多声时期以来，五度相生律三、六度不协和的问题日益明显，要求采用纯律三、六度成为自然趋势，于是有人将古希腊的纯律理论重新提起。英国修道士W.奥丁顿于1275～1300年间提出了含有纯律三度的音列。同一世纪的德国音乐理论家科隆的弗兰科把纯律大小三度作为协和音程。14世纪，法国作曲家兼理论家P.de维特里与音乐理论家让·德米尔(1325～？)分别提出，把纯律小六度(8∶5)与纯律大六度(5∶3)作为协和音程。到16世纪，意大利理论家G.扎利诺根据纯律理论在建立大小三和弦概念的基础上提出了纯律音阶。
    五度相生律与纯律各有一个令人注目的音差，前者为“古代音差”,后者为“普通音差”,大小相近。1726年,法国音乐理论家J.－P.拉莫发现了两者之间的极小的差距,称之为“小微音差”。此音差的长度比为32805∶32768（即□×5∶□）,音程值为2音分。凡相距八个纯五度又一个纯律大三度的两音之间便存在这样一个音差，利用它可以进行律的替换。回顾三分损益律的夷则正律到黄钟半律之间的音程(384音分)，与纯律大三度（386音分）相比，其差异就是如此，故在古代音乐家的听觉中，这两律是协和的，这种转化也给中国古代钟律带来纯律因素。
    由于纯律音阶一经转调就到处出现大全音与小全音的差异,使律制变得十分复杂,在键盘乐器上形成错综的式样。为消除这一矛盾，15、16世纪欧洲有人提出“中庸全音调律法”，把大、小全音加以折衷平均。西班牙作曲家兼理论家B.拉莫斯·德·帕雷哈(1440～1521)在其1482年的著作《音乐实践》中已记述了中庸全音律在当时的使用情况，到16世纪初，德国管风琴演奏家A.施利克（约1460～1521？）所著《管风琴制造者及管风琴家之镜》（成于1511年）一书从理论上明确提出。这一调律法的优点在于和弦发音和谐，因而在欧洲中世纪至近代的键盘乐器上盛行达数百年之久。其缺点是能用的调域有限，只能适应7个大调和4个小调，当乐曲转调超出这范围时，音阶中就出现显著不准的音程，俗称“狼音”。这种局面只有十二平均律才能解救。
    包括中立音程的律制中立音程的出现可追溯到古希腊。希腊人在歌唱的伴奏中有时将自然四音列加以变化，构成“变音四音列”；以后阿希塔斯提出将四音列中的半音缩小为近似1/3音,后来再行缩小，在相距半音的两音中插入另一音，它与左右两音都距离约1/4音,处于中立位置，形成“四分音四音列”。
    阿拉伯人在中世纪继承古希腊文明，在琵琶式的拨弦乐器乌德上以纯四度关系定弦并使用四音列。乌德上的中指音位比空弦高小三度,但其音高游移。习惯上把其中较低的称为“古代中指”，较高的称为“波斯中指”，出于古老的贝都因民族的传统听觉要求，常常还游移到更高的音位。8世纪时,乌德名手扎尔扎尔(?～791)将此要求确定为一个新的中指箍位，位置介于小三度与大三度之间，称为“扎尔扎尔中指”。后来,9～10世纪时的A.N.法拉比与11世纪时的伊本·西纳对此音位从律学理论上分别作了规定,前者所提出的理论解释影响较大,见表6。
    扎尔扎尔中指箍位的存在使阿拉伯音阶在音律上以包含中立音程为其特征，介于大、小三度之间的音程称为“中三度”，介于大、小六度之间的音程称为“中六度”。但这种实用律制与根据传统四度相生法所建立的理论律制，无论在音准上还是数理上，都不一致；即使在13世纪波斯音乐理论家萨菲·丁根据四度相生法把律数增加到17以后，两者的分歧和抵触仍无法消除，将独具特色的阿拉伯调式纳入17律制体系的结果是削足适履，阻抑了阿拉伯音乐特有风格的发挥。直到1888年，阿拉伯音乐家兼数学家M.穆沙加提出用24平均律音程来模拟中立音程，才使中立音程得以挣脱五度相生律与纯律强加于它的桎梏而施展其风格与表情特色。
    四、平均律十二平均律与二十四平均律的建立，用现代数学术语表述就很简单：为了把八度音程均匀地分成12个相等的间距,就应将八度的频率比值（2）开12次方，方根就是平均律半音的频率比值，再开平方就得到平均律1/4音的频率比值；但在历史上,这是以建立等比数列概念与掌握开方技术为前提的，曾经经历了漫长的探索。
    不同的乐系，从各自的自然律传统出发，分别经过艰辛的探索历程，殊途同趋于相仿的平均律制。在中国，是从三分损益律的传统出发，为弥合古代音差的缝隙，由朱载□在16世纪后半叶（1584年以前）提出了十二平均律的精密数据(新法密率)。在欧洲，是在纯律大量实践的基础上，为了排解普通音差所造成的繁杂和中庸全音律所遇到的困难,由荷兰数学家兼工程师S.斯台文(1548～1620)与法国音乐理论家梅尔塞讷先后在16世纪末、17世纪初提出了十二平均律的数据。在阿拉伯乐系，则从长期运用中立音程的传统出发，为了解决中立音程的实际演奏与固有理论律制的抵触，由穆沙加在1888年提出二十四平均律律制，将十二平均律包含在内作了进一步的发展。
    人们接受平均律，并非着意于用它取代、排斥、扫除自然律，而是由于它近似自然律，它的各种音程可以当作自然音程来感受。在实践中，平均律是作为各种不同性质的自然律的简便易行的仿制品、代用品而通用于世，并在实际演唱演奏中随时予以必要的调节；在理论上，平均律音程提供了一种方便的尺度（或以平均律半音为100，或以平均律全音为1），以简捷明了地量度与比较各种各样的自然律音程，并成为音律测定与计算中的数学框架。
    五、律学研究的现实意义律学对于当前的音乐实践与音乐学研究仍在发挥作用。民族音乐研究中，在测音分析的基础上，对某些地区、民族的音乐中存在的特殊音程给予律制的解释，找出数理的依据，从而指导民族多声音乐体制的建立与发展，探索既便于定音乐器演奏又体现民族民间音乐特有风格的新律制。在各民族音乐文化充分交流相互吸收的过程中，突破传统和声学在调式音律方面的局限性，建立能够容纳不同乐系的音阶、音程、音律、调域、调式的综合体系。在合唱合奏中，协调多种律制之间的关系，使音乐织体层次分明，音响丰满和谐，音调富于性格，调域变化灵活。
    计算音程值的方法，是把某音程的频率比值换算成对数，并依一定意图制定某种单位名称。有了音程值以后，音程的大小就可一目了然，音程加减可用音程值加减来算，音程扩大到多少倍或划分成多少．